Elektrotechnik – 3. Gleichstrom I

Luft- und Raumfahrttechnik Bachelor, 1. Semester

David Straub

3. Gleichstrom

1. Stromstärke und Stromdichte
2. Stromleitung in Metallen
3. Ohm’sches Gesetz und Widerstand
4. Temperaturabhängigkeit des Widerstands
5. Die Kirchhoff’schen Gesetze
6. Reihen- und Parallelschaltung, Teilerregeln
7. Zweipoltheorie
8. Arbeit und Leistung
9. Reale Messungen im Gleichstromkreis

Elektrischer Strom (electric current)

Strom ist der gerichtete Fluss von elektrischer Ladung.

Stromstärke : Wie viel Ladung passiert einen Drahtquerschnitt pro Zeit?

Beispiel: Passieren in insgesamt den Querschnitt, fließt ein Strom von .

Allgemein, auch bei zeitlich veränderlichem Strom: .

Stromdichte (current density)

Stromdichte : Strom pro Querschnittsfläche

Bei gleichmäßiger Verteilung und senkrechtem Durchtritt.

Allgemein: Beiträge über die Fläche summieren

Stromrichtung & Ladungsträger

• Technische Stromrichtung: Bewegungsrichtung positiver Ladung.
• Elektronen bewegen sich entgegengesetzt.

Stromleitung in Metallen

• Bewegliche Leitungselektronen im Gitter positiver Atomrümpfe („Elektronengas“).
• Im Inneren näherungsweise neutral: Positive und negative Ladungen gleichen sich aus.
• Die Elektronen transportieren die Ladung.

Metalle im elektrischen Feld

• Elektrisches Feld → Beschleunigung; Stöße am Gitter begrenzen die Drift.
• Mittlere Driftgeschwindigkeit entgegen der Feldrichtung.

: Elektronenladungsdichte; : Elektronen pro Volumen; : Elementarladung.

Wie schnell sind die Elektronen?

Durch einen Kupferdraht mit Querschnitt fließt ein Strom von .

Wie schnell bewegen sich die Elektronen im Mittel entlang des Drahts?

A) fast mit Lichtgeschwindigkeit

B) einige km/s

C) einige m/s

D) einige mm pro Minute

Zahlenbeispiel: Driftgeschwindigkeit im Kupferdraht

Kupfer, , :

• Dichte freier Elektronen:
• Ladungsdichte der Elektronen:
• Stromdichte:
• Driftgeschwindigkeit:

Licht sofort an? Die Feldänderung breitet sich schnell aus – die Elektronen müssen nicht erst vom Schalter zur Lampe wandern.

Ohm’scher Leiter und Widerstand

Ohm’scher Leiter bei konstanter Temperatur: Doppelte Spannung → doppelter Strom.

: elektrischer Widerstand (electric resistance)

• Ohm’sch: bleibt bei veränderter Spannung konstant.
• Nichtlinear: hängt vom Betriebspunkt ab.

Ohm’sches Gesetz (Ohm’s law)

• Für ein gegebenes Material ist die Stromdichte umso höher, je höher das elektrische Feld ist
• Der Proportionalitätsfaktor ist die elektrische Leitfähigkeit :

Achtung: die proportionale Beziehung gilt nur für Ohm’sche Leiter (z.B. Metalle bei konstanter Temperatur)

Ohm’sches Gesetz im Ohm’schen Leiter

Leiter der Länge , Querschnitt , homogenes Feld wie im Kondensator ():

Damit hängt der Widerstand von Material und Geometrie ab:

mit dem spezifischen Widerstand (Materialgröße; nicht mit der Ladungsdichte verwechseln).

Leitwert (conductance)

Der elektrische Leitwert ist der Kehrwert des Widerstands:

Je größer , desto mehr Strom fließt bei gleicher Spannung: .

In der --Kennlinie eines Ohm’schen Leiters ist die Steigung.

Materialeigenschaften vs. Bauteilgrößen

Materialeigenschaften (unabhängig von der Geometrie):

• Spezifischer Widerstand
• Leitfähigkeit

Bauteilgrößen (abhängig von der Geometrie):

• Widerstand
• Leitwert

Kupfer bei 20 °C: , unabhängig von der Drahtform.

Gleiches Material, gleiche Temperatur und Länge: dickerer Draht → kleineres .

Wie beim Kondensator : Material mal Geometrie.

Länger und dünner

Ein Draht hat den Widerstand . Ein zweiter Draht aus demselben Material ist doppelt so lang und hat den halben Durchmesser.

Welchen Widerstand hat der zweite Draht?

A)

B)

C)

D)

Übersicht der Größen im Ohm’schen Leiter

Hinweis: In manchen Büchern heißt die Stromdichte statt – gemeint ist dasselbe.

Aufgabe 6: Stromdichte & Widerstand

In einer Glühlampe (12 V, Kfz-Blinker) fließt ein Strom .

Vorab: Gleicher Strom durch Zuleitung und Glühfaden – wo ist größer? Ohne Rechnung begründen.

a) Wie groß ist die Stromdichte im Glühfaden ()?

b) Wie groß ist die Stromdichte in der Zuleitung ()?

c) Ein Kupferdraht hat die Länge und den Querschnitt (). Wie groß ist sein Widerstand ?

d) Welchen Widerstand hat ein Draht gleicher Abmessungen aus Aluminium ()?

Temperaturabhängigkeit des Widerstands

Warum? Wärmer → die Atomrümpfe schwingen stärker → die Elektronen stoßen öfter → bei gleichem Feld fließt weniger Strom: steigt.

Lineare Näherung in einem begrenzten Temperaturbereich:

• : Temperaturkoeffizient,
• : Bezugstemperatur (üblicherweise 20 °C oder 0 °C)

Glühlampe: Mehr Spannung → heißerer Faden → größeres → ihre --Kennlinie flacht ab.

Leitfähigkeit verschiedener Materialien

Bei den hier betrachteten Metallen nimmt der Widerstand mit steigender Temperatur zu ().

Typische Werte bei 20 °C:

Warme Leitung

Eine Kupferleitung hat bei 20 °C den Widerstand . Im Betrieb erwärmt sie sich auf 70 °C.

Um wie viel steigt ihr Widerstand?

A) etwa 0,2 %

B) etwa 2 %

C) etwa 20 %

D) etwa 200 %

Metalle als Temperatursensoren

Temperatur aus Widerstand bestimmen

Platin-Widerstandsthermometer (Pt100):

• Langzeitstabil; Messbereich −200 °C bis +850 °C.

• Lineare Näherung nur in einem begrenzten Temperaturbereich.

Bei bekanntem Messstrom: → Temperatur.

Zwischenstand & Ausblick

• Strom: ; gleichmäßig im senkrechten Querschnitt:
• Langsame Elektronendrift, schnelle Ausbreitung der Feldänderung
• Ohm’scher Leiter: konstantes ; Material und Geometrie:
• Temperatur: näherungsweise linear → Pt100-Sensor

Nächste Woche: Kirchhoff’sche Gesetze, Netzwerke und reale Quellen.